椭圆面积和周长的求法，看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。
椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$，这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。
目前还没有找到椭圆周长的一般公式，要想精确求解，只有代入以下无穷级数：
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成：
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$
距离c 叫做椭圆的线性离心率，等于从中心到任一焦点的距离
当然如果你不懂这些，也不用太沮丧，因为数学家拉马努金给出了一条比较简单、而且精确度比较高的近似公式：
$$C \approx \pi [3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$$
还有一条近似很高的公式（据说用来计算行星轨道也没有问题）：
$$C=\pi (a+b)[1+\frac{3\cdot ({a-b}/{a+b})^2}{10+\sqrt{4-3({a-b}/{a+b})^2}}]\cdot [1+({22}/{7\pi} -1)({a-b}/a)^33.697]$$
下面是椭圆周长的一些参考值：
a——b————椭圆值
100—000——400.00000000
100—001——400.10983297
100—010——406.39741801
100—025——428.92108875
100—050——484.42241100
100—075——552.58730400
100—090——597.31604325
100—099——625.18088479
100—100——628.31853070
转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/47
更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》