证明下列极限：
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{3/x}=ab\sqrt{ab}$$
解：
这是我认为比较难的极限题目之一，由麦克劳林公式可以推出：
$$a^x=1+x \ln a+\frac{x^2 \ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 \ln^3 a}{3!}+...$$
于是原式可以变成
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{2+x \ln a+\frac{x^2 \ln^2 a}{2!}+...+x \ln b+\frac{x^2 \ln^2 b}{2!}+...}{2}\right)^{3/x}$$
我们有一个简单的极限：$\lim\limits_{x\to 0}(a+x^2)^{1/x}=a^{1/x}$，因此，在上式中，$\frac{x^2 \ln^2 a}{2!}$及其后面的项可以忽略，只考虑
$$\begin{aligned}
&\,\lim_{x \to 0}\left(\frac{2+x \ln a+x \ln b}{2}\right)^{3/x}\\
=&\,\lim_{x \to 0} \left\{\left[1+\left(\frac{\ln a+\ln b}{2}\right)x\right]^{1/x}\right\}^3\\
=&\,e^{\frac{3(\ln a+ \ln b)}{2}}\\
=&\,(ab)^{3/2}\\
=&\,ab\sqrt{ab}
\end{aligned}$$
同理，有
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{a_1^x+a_2^x+...+a_n^x}{n}\right)^{1/x}=\sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$$
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